+ Yorum Gönder
Elektronik ve Elektronik Bölümü Bölümünden Boolean MatematİĞİ ile ilgili Kısaca Bilgi
  1. Mattet
    Usta Üye


    Boolean MatematİĞİ





    Boolean MatematİĞİ Forum Alev
    BOOLEAN MATEMATİĞİ



    İngiliz matematikçi George Bole tarafından 1854 yılında geliştirilen BOOLEAN matematiği sayısal devrelerin tasarımında ve analizinde kullanılması 1938 yılında Claude Shanon tarafından gerçekleştirildi. BOOLEAN matematiği sayısal devrelerin çıkış ifadelerinin giriş değişkenle ri cinsinden ifade edilmesi ve elde edilen ifadenin en basit haline ulaşması için kullanılır. Bu bölümde aşağıdaki konular anlatılacaktır.


    DEĞİL,VE,VEYA,VEDEĞİL ve VEYADEĞİL kapılarının, BOOLEAN Matematiği ifadeleri

    BOOLEAN matematiğinde temel kuralların ve kanunların uygulanması

    BOOLEAN ifadelerinde DeMorgan teoreminin uygulanması

    BOOLEAN ifadelerinden sayısal devrenin çizilmesi,bir sayısal devreden Boolean ifadesinin elde edilmesi

    BOOLEAN ifadelerinin kanunlar ve kurallar yardımı ile sadeleştirilmesi

    BOOLEAN ifadelerinin doğruluk tablolarından elde edilmesi ve BOOLEAN açılmları ve standart ifadeler..

    BOOLEAN açılımların birbirlerine dönüşümü.

    Sayısal işlemler

    4.1. BOOLEAN İŞLEMLERİ


    Boolean matematiği sayısal sistemlerin analizinde ve anlaşılmasında kullanılan temel sistemdir. Bu bölümde temel Boolean işlemleri ve bunların sayısal devrelerde nasıl kullanıldığı anlatılacaktır.

    4.1.1 BOOLEAN MATEMATİĞİ SEMBOLLERİ


    Boolean matematiğinde kullanılan değişkenler veya fonksiyonlar büyük harfler kullanılarak gösterilmiştir. Sayısal olarak bir değişken veya fonksiyon iki değer alabilir. Bu değerler 1 veya 0 olacaktır. Değişkenlerin veya fonksiyonların aldığı bu değerler sayısal devrelerde eğer “1” ise YÜKSEK gerilim seviyesi , “0” ise ALÇAK gerilim seviyesini gösterecektir.



    A ve B girişlere uygulanan iki değişkeni gösterirse VE fonksiyonu Boolen ifadesi olarak ‘A.B’ şeklinde yazılırken, VEYA fonksiyonu için ‘A+B’ şeklinde yazılacaktır.

    4.1.2 BOOLEAN TOPLAMA VE ÇARPMA

    Boolean toplamaya ilişkin temel kurallar aşağıda verilmiştir.


    4.2. BOOLEAN KANUNLARI

    Boolen matematiğinin üç temel kanunu: Yer değiştirme kanunu( Commutative Laws), Birleşme kanunu (Associative Laws) ve Dağılma Kanunu (Distributive Laws) adını alırlar.


    YER DEĞİŞTİRME KANUNU( COMMUTATİVE LAWS)

    İki giriş değişkeni için Boolean toplamaya ait yer değiştirme kanunu aşağıdaki gibi yazılır


    BİRLEŞME KANUNU (ASSOCİATİVE LAWS)

    Boolean toplama işlemine ilişkin birleşme kanunu A,B,C giriş değişkenlerini göstermek üzere aşağıdaki gibi yazılır.



    DAĞILMA KANUNU (DISTRIBUTIVE LAW)

    A,B,C giriş değişkenlerini göstermek üzere dağılma kanunu aşağıdaki gibi yazılır.



    4.3 BOOLEAN MATEMATİĞİ KURALLARI



    Kural 1- VEYA özdeşlikleri

    a) Bir VEYA kapısının girişlerinden biri “0” ise çıkış ifadesi A’ nın durumuna bağlıdır. Eğer A=0 ise çıkış “0”, A=1 ise çıkış “1” olur.

    b) Bir VEYA kapısının girişlerinden biri “1” ise , A’ nın durumu ne olursa olsun çıkış daima “1” olur.


    c) Bir VEYA kapısının girişlerine değişkenin değili ile kendisi uygulanırsa çıkış
    A’nın durumu ne olursa olsun daima “1” olur.

    d) Bir VEYA kapısının her iki girişine aynı değişken uygulanırsa çıkış A’nın durumuna bağlıdır.
    Eğer A=0 ise çıkış “0”, =1 ise çıkış “1” olur.



    Kural 2- VE özdeşlikleri


    a) Bir VE kapısının girişlerinden biri “0” ise, A’ nın durumu ne olursa olsun çıkış
    daima “0”olur.

    b) Bir VE kapısının girişlerinden biri “1” ise çıkış ifadesi A’ nın durumuna bağlıdır. Eğer A=0 ise çıkış “0”, A=1 ise çıkış “1” olur.

    c) Bir VE kapısının girişlerine değişkenin değili(tümleyeni) ile kendisi uygulanırsa çıkış A’nın durumu ne olursa olsun daima “0” olur.

    d) Bir VE kapısının her iki girişine aynı değişken uygulanırsa çıkış A’nın durumuna bağlıdır. Eğer A=0 ise çıkış “0”, A=1 ise çıkış “1” olur.




    Kural 3- Çift tersleme kuralı

    Bir Lojik ifadenin veya değişkenin iki defa değili alınırsa (terslenirse) lojik ifadenin veya değişkenin aslı elde edilir



    Kural 4- Yutma kuralı

    Bu kuralı dağılma kanunu ve VEYA, VE özdeşlikleri yardımı ile açıklayalım. Eğer ifadeyi A ortak parantezine alırsak aşağıdaki dönüşüm sağlanmış olur.





    Kural 5




    Kural 6


    Tablo 4.4’de girişlerin durumuna bağlı olarak
    ( A + B) . ( A + C ) ile A + B.C
    ifadelerinin durumları yazılmıştır. Bu iki ifadenin eşitliği tablodan görülebilir.








    İle İlgili Yazılar



  2. Mattet
    Usta Üye





    4.4 DEMORGAN TEOREMLERİ







    4.5 SAYISAL DEVRE TASARIMI

    Boolean ifadesinden mantık kapıları arasında uygun bağlantılar yapılması ile sayısal devrenin elde edilmesi işlemine sayısal devre tasarımı adı verilir. Bu bölümde verilen bir Boolean ifadesinden sayısal devrenin çizimi ve sayısal devrelerden Boolean ifadesinin elde edilmesi anlatılacaktır.

    4.5.1 BOOLEAN İFADESİNDEN SAYISAL DEVRELERİN ÇİZİLMESİ

    Bu kısımda verilen bir Boolean ifadesinden sayısal devrelerin çizilmesi anlatılacaktır. Devre tasarlanırken ilk önce Boolean ifadesinde kaç tane giriş değişken in olduğu, daha sonra bu değişkenlerin hangi Boolean işlemine uygulandığı bulunmalıdır. Çizim sırasında Boolean matematiği işlem sırası takip edilmelidir. İşlem sırası parantez ,DEĞİL,VE, VEYA şeklindedir.




    4.5.2 SAYISAL DEVREDEN BOOLEAN İFADESİNİN ELDE EDİLMESİ

    Çizilmiş bir sayısal devreden Boolean ifadesinin elde edilebilmesi için ilk önce kapı girişlerine uygulanan değişkenler belirlenir. Her kapı çıkışına ait Boolean ifadesi yazılır. Bu işlem devredeki en son kapıya kadar sürdürülür.

    4.6 BOOLEAN İFADELERİNİN SADELEŞTİRİLMESİ

    Çoğu zaman sayısal bir devre için elde edilen Boolean ifadesi uzun ve karmaşık olabilir. Devreyi bu haliyle tasarlamak işlemin maliyetinin artmasını ve hata yapma olasılığını beraberinde getirmektedir. Boolean teorem, kural ve kanunular yardımı ile ifadeler sadeleştirilerek daha az sayıda mantık kapısı ile sayısal devreler tasarlanabilir.




    4.7. BOOLEAN İFADELERİNİN ELDE EDİLMESİ

    Bir doğruluk tablosu tasarımcı tarafından sayısal devrenin çalışmasına yönelik oluşturulmuş ve giriş değişkenlerinin durumuna bağlı olarak çıkışın ne olması gerektiği anlatan tablodur. Tasarım aşamasında en önemli işlemlerden biri olan doğruluk tablosunu oluşturduktan sonra ifadenin mantık kapıları ve bu k apıların birbirleriyle olan bağlantılarının elde edilebilmesi için tablodan Boolea n ifadesinin elde edilmesi gerekmektedir. Önceki kısımlarda bu ifadelerin sadeleştirilmesi ve devrelerin çizilmesi anlatıldı. Bu bölümde Boolean ifadelerinin doğruluk tablosundan elde edilmesi konusu anlatılacaktır.

    4.7.1. BOOLEAN AÇILIMLARI VE STANDART FORMLAR

    Boolean ifadeleri fonksiyonun doğruluk tablosundan elde edilen iki temel açılımdır. Bu ifadeler eğer bir sadeleştirme işlemi uygulanmazsa az sayıda değişken içermesi ender olarak karşılaşılan bir durumdur. Boolean ifadelerinin yazıldığı iki temel açılım minterimlerin toplamı ve maxterimlerin çarpımı olarak gösterilebilirler.

    4.7.1.1 MİNTERİM VE MAXİTERİM



    Üç değişkenin alabileceği sekiz (23) durum olduğundan 0’dan 7’ye kadar olan onluk sayıların ikilik karşılıkları, yazılabilecek durumları vermektedir. Her bir değişken ikilik sayıda eğer “0” ise değili “1” ise değişkenin kendisi yazılarak bulunur. Minimum terim Boolean ifadesini “1” yapan terimdir.Her bir minimum terim mj şeklinde gösterilir. Burada j indisi ilgili ikilik sayının onluk karşılığıdır.

    Benzer biçimde n kadar değişken için değişkenin kendisi ve değili olmak üzere
    VEYA işlemini ile birleştirilmiş 2n kadar durum yazılabilir. VEYA işlemi ile birleştirilmiş bu durumlar ise maksimum terimler veya standart toplama adını alırlar.
    Üç değişkene ait maksimum terimler Tablo 4.6’da verilmiştir. Her maxterim üç değişkenin VEYA işlemi ile birleştirilmiş halinden elde edilir ve burada ikilik sayıda değişken 0 ise değişkenin kendisi, 1 ise değişkenin değili yazılarak bulunabilir.


    4.7.1.2. MİNİTERİMLERİN TOPLAMI

    Bir önceki konuda n sayıda değişkene ait 2n sayıda minimum terim yazılabileceğini
    ve bu minimum terimlerin fonksiyonu ‘1’ yapan terimler olduğu anlatılmıştı. Boolean fonksiyonunu minterimlerin toplamı (çarpımların toplamı) cinsinden ifade edebilmek için fonksiyonun ‘1’ olduğu her durum için minimum terimler bulunur. Bulunan bu minimum terimler VEYA’lanarak fonksiyon minterimlerin toplamı(çarpımların toplamı) cinsinden yazılabilir.
















  3. Mattet
    Usta Üye
    4.7.1.3. MAXİTERİMLERİN ÇARPIMI




    Şeklinde fonksiyon verilebilir. sembolü parantez içindeki maxiterimlere VE işleminin uygulanacağını gösterirken, çıkış ifadesini (Q) takip eden parantez değişkenleri (A,B,C) göstermektedir.

    Boolean fonksiyonların maxterimlerin çarpımı (toplamların çarpımı) olarak ifade edebilmek için fonksiyonu VEYA terimleri haline getirmek gerekir. Bu işlem:

    (A+B).(A+C) = A+B.C


    dağılma kanunu kullanılarak gerçekleştirilir.Daha sonra her bir VEYA teriminde eksik değişken varsa , A eksik değişkeni göstermek üzere terim,




    4.7.1.4 BOOLEAN AÇILIMLARININ BİRBİRLERİNE DÖNÜŞTÜRÜLMESİ

    İki temel Boolean açılımda kullanılan minterim ve maxterimler ifade ediliş bakımından birbirlerinin tümleyeni olduğu görülebilir. Bunun nedeni fonksiyonu ‘1’ yapan terimlere ait minimum terimler bulunurken, fonksiyonu ‘0’ yapan minimum terimlerin tümleyeninin fonksiyonu ‘1’ yapmasıdır. Örneğin :


    Boolean açılımlarının birbirleri arasındaki dönüşümde;

    I - Dönüşüm işlemine göre

    a) Eğer minterimden maxterime dönüşüm isteniyorsa sembolü ile sembolü ile değiştirilir.

    b) Eğer maxterimden minterime dönüşüm isteniyorsa sembolü ile sembolü ile değiştirilir.

    II - Fonksiyonda sayılar seklinde verilen terimlerin yerlerine fonksiyonda bulunmayan sayıları yazılır.

    adımları takip edilebilir.

    Örnek :

    Aşağıda minterimler cinsinden verilen fonksiyonu maxterimler cinsinden yazınız.

    Q(x,y,z,w)=∏(0,2,3,7,9,11,12,13,15)

    Çözüm:

    Dönüşüm işlemi maxterimden minterime olduğuna göre ∏sembolü ∑ sembolü ile yer değişecektir. Fonksiyonda olmayan sayılar yazılarak dönüşüm işlemi tamamlanmış olur.

    Q(x,y,z,w)= ∑ (1,4,5,6,8,10,14)

    4.7.1.5. STANDART İFADELER

    Boolean fonksiyonların elde etmenin bir diğer yolu standart formlardır. Bu formda fonksiyonu oluşturan terimler değişkenlerin tamamı içermetebilir. İki temel tip standart form vardır, çarpımların toplamı (Sum of Product-SOP) ve toplamların çarpımı (Product of Sum-POS).

    Çarpımların toplamı formu, bir veya daha fazla değişkenden oluşan çarpım terimleri olarak adlandırılan VE terimlerinden oluşmuş Boolean ifadesi gösterimidir.Toplam, elde edilen VE terimlerinin VEYA ’landığını göstermektedir.Bu forma bir örnek aşağıda gösterilmiştir.


    4.7.2 DİĞER SAYISAL İŞLEMLER

    n kadar değişkene sahip bir Boolean fonksiyonu için 2n olası durum yazılabildiği için,2n
    n kadar değişken için yazılabilecek fonksiyon sayısı
    n=2 olduğundan yazılabilecek fonksiyon sayısı 16’dır.
    2 kadardır. İki değişken için X ve y gibi iki değişkene ait yazılabilecek 16 fonksiyona ait doğruluk tabloları Tablo 4.7’de verilmiştir.Tabloda F0’dan F15’e kadar olan 16 sütündan her birisi x ve y değişkenlerinden oluşan fonksiyonlardan birinin doğruluk tablosunu gösterm ektedir. Fonksiyonlar F’in alabileceği 16 durumdan elde edilmiştir. Fonksiyonların bazılarında işlemci sembolü vardır. Örmeğin F1, Ve işlemine ilişkin doğruluk tablosunu vermektedir ve işlem sembolü “.” olarak verilmiştir.

    Tablo 4.8 doğruluk tablosu verilen 16 fonksiyona ait Boolean ifadelerini göstermektedir. Boolean ifadeleri en az sayıda değişken içerecek biçimde sadeleştirilmiştir. Tabloda görülen fonksiyonların bir bölümü (VE,VEYA,DEĞİL vb.) Boolean işlemcileri ile ifade edilebilmelerine rağmen diğer fonksiyonları n ( Özel VEYA, x değil ve y vb.) ifade edilebilmeleri için özel işlem sembolü kullanılmıştır. Özel-Veya işlemi dışındaki işlem sembolleri tasarımcılar tarafından pek kullanılmaz.


    Tablo 4.8’da verilen 16 fonksiyon üç ana gurupta incelenebilir:

    I. İki fonksiyon ‘0’ veya ‘1’ gibi bir sabit üretir.

    II. Dört fonksiyon tümleyen ve transfer işlemini verir.

    III. On fonksiyon VE,VEYA,VEDEĞİL,VEYADEĞİL,Özel-VEYA, Özel-VEYA DEĞİL, engelleme ve içerme olmak üzere sekiz işlemi gösterir.


    İkilik bir fonksiyon sadece ‘1’ veya ‘0’ değerlerini alabilir. Tümleyen fonksiyonu ikilik değişkenlerden (x ,y) her birisinin tümleyenini(x’,y’) verir. Girişin değişkenlerinden birine eşit olan fonksiyona transfer fonksiyonu denir. Engeleme ve içerme işlemleri sayısal tasarımcılar tarafından kullanılsada bilgisayar mantığında nadiren kullanılr. VE,VEYA,VE değil,VEYA değil,Özel-VEYA ve Özel-VEYA değil işlemleri sayısal sistemlerin tasarımında yaygın olarak kullanılmaktadır.









  4. Mattet
    Usta Üye
    KARNOUGH HARİTALARI

    Boolean fonksiyonlarını teoremler,kurallar ve özdeşlikler yardımı ile indirgeyebileceğimizi bir önceki bölümde gördük. Ancak yapılan bu sadeleştirme işleminde birbirini izleyen her adım için farklı bir işlem yapma gerekliliği indirgemenin tam olarak yapılamamasına ve indirgemede hata yapma olasılığını arttırma ktadır. Karnough haritalama yöntemi Boolean fonksiyonlarının indirgenmesinde basit ve dolaysız bir yöntem sağlar.

    Harita karelerden oluşan bir şemadır. Her bir kare bir minterimi gösterir. Bir Boolean fonksiyonunu doğruluk tablosundan minterimlerin VEYA ’lanması (çarpımların toplamı) olarak ifade edildiği için haritada fonksiyonun minimum terimleri içerdiği karelerle çevrili bir alanlarla tanımlanabilir. Tasarımcı bu alanlarda uygun bileşkeler alarak en sade ifadeyi elde edebilir.Karnough haritalama yöntemi en fazla altı değişkenli ifadelerin sadeleştirilmesinde kullanılmaktadır. Daha fazla değişken içeren fonksiyonların indirgenmesi için “Tablo” yöntemi kullanılmaktadır.



    5.1. İKİ , ÜÇ VE DÖRT DEĞİŞKENLİ DİYAGRAMLAR

    İki giriş değişkeni için dört minterim yazılabilir, dolayısı ile harita da her minterime karşılık gelen bir kare olmak üzere dört kare vardır. Şekil 5.1 iki giriş değişkeni için oluşturulmuş Karnough haritasını göstermektedir.


    Şekil 5.1 İki değişkenli Karnough haritası Kareler ve karşılık gelen değişkenler (b)’de
    gösterilmiştir. Her satır ve sütündaki “1” ve “0” lar değişkenlerin alabileceği durumları göstermektedir. Her bir satır ve sütünün bileşiminden elde edilen ikilik ifade değişkenlerin bulundukları kareye ait durumunu göstermektedir.


    olacaktır. Bitişik iki kare VEYA’lanırsa ifade tek terime indirgenir. İlerleyen bölümlerde bitişik kareler komşu olarak adlandırılacaktır.


    Minterimlerin yazılım sırasına dikkat edilirse, bitişik her bir satır veya sütün ‘da değişkenin alabileceği değer “1” den “0” a yada “0” dan “1” geçer. Bu ise iki bitişik karenin birbiri ile komşu olmasını sağlar.

    Karelerin hangi minterime karşılık geldiğini değişkenlerin satır ve sütu na ait ikilik ifadesinin onluk karşılığı yazılarak bulunabilir.

    Karnough haritalarında her bir karenin Boolean ifadesi ve minimum terim cinsinden
    anlamı bulunduktan sonra doğruluk tablosundan veya bir lojik ifadeden bilgilerin haritaya aktarılması gerekmektedir. Doğruluk tablosunda çıkış ifadesi tercih edilen indirgeme şekline göre “1” veya “0” olduğu durumlar Karnough haritasında uygun karelere yazılır.

    5.2 KARNOUGH HARİTALARINA YERLEŞİM


    Verilen bir Lojik ifadeden veya doğruluk tablosundan bilginin haritaya aktarımı için:

    a) Lojik ifade veya doğruluk tablosundaki giriş değişken sayısı bulunmalıdır.

    b) Karnough haritası giriş değişken sayısına uygun olacak şekilde hazırlanır.

    c) Eşitlik Karnough haritasına aktarılır.


    I. Lojik ifadeden Karnough haritasına bilgileri aktarırken, ifadeyi oluşturan minterimler bulunur. Minterimlere ait karelere ‘1’ diğer karelere ‘0’ yazılır.

    II. Doğruluk tablosundan bilgileri Karnough haritasına aktarırken, çıkış
    ifadesine ait durumlar Karnough haritasındaki uygun karelere yazılır.






    5.3 KARNOUGH HARİTALARI YARDIMI İLE LOJİK İFADELERİN

    SADELEŞTİRİLMESİ


    Karnough haritaları yardımı ile yapılan sadeleştirme işlemi indirgenmiş ifadenin formuna göre çarpımların toplamı veya toplamların çarpımı olmak üzere i ki ayrı şekilde olabilir. Aksi belirtilmedikç yapılan indirgeler çarpımların toplamı formunda kabul edilecektir.



    5.3.1 ÇARPIMLARIN TOPLAMI İLE SADELEŞTİRME


    Lojik ifadeleri Karnough haritaları yardımı ile çarpımların toplamı formunda indirgerken

    I. Doğruluk tablosundan alınan değerler Karnough haritasına aktarılır.

    II. Karnough haritasında “1” olan kareler uygun bileşkelere alınır.

    a) Bileşke oluştururken içinde “1” olan karelerin sayısı 2n kadar olmalıdır.
    b) Bir kare birden fazla bileşke içinde bulunabilir.

    c) Karelerin bileşke oluşturabilmeleri için birbirlerine komşu olmaları
    gerekmektedir.

    d) Karşılıklı köşe ve kenarlardaki kareler birbirlerine komşu kare sayılırlar.

    III - Bileşke sonuçları VEYA’lanır ve indirgenmiş eşitlik elde edilir.

    a) Bileşke içinde durum değiştiren degiştiren değişkenler varsa ( 1’den 0’a veya 0’dan 1’e) bu değişkenler dikkate alınmaz.

    b) Bileşke içindeki karelerinde durum değiştirmeyen değişkenler varsa indirgemede bu değişkenler dikkate alınır. Eğer durum değiştirmeye değişkenler Lojik-0 ise değişkenlerin değili, Lojik-1 ise değişkenlerin kendisi yazılır.




    5.3.2.Toplamların Çarpımı ile Sadeleştirme

    Lojik ifadeleri Karnough haritaları yardımı çarpımların toplamı formunda sadeleştirme yapmak için aşağıdaki işlem sırası takip edilir:
    I. Doğruluk tablosundan alınan değerler Karnough haritasına aktarılır.
    II. Karnough haritasında “0” olan kareler uygun bileşkelere alınır.
    III. Bileşke sonuçları VEYA’lanır ve indirgenmiş eşitlik elde edilir.
    a) Bileşke içinde durum değiştiren değişkenler varsa ( 1’den 0’a veya
    0’dan 1’e) bu değişkenler dikkate alınmaz.

    b) Bileşke içindeki karelerde durum değiştirmeyen değişkenler varsa indirgemede bu değişkenler dikkate alınır.eğer durun değiştirmeyen değişkenler Lojik-0 ise değişkenin değili, Lojik-1 ise değişkenin kendisi yazılır.

    VI - Elde edilen bu ifade gerçek fonksiyonun değilidir. İfadenin bir kez daha değili
    alınarak gerçek fonksiyon toplamların çarpımı formuna dönüştürülür.





    5.4.LOJİK İFADENİN VE-DEĞİL VEYA VEYA-DEĞİL LOJİK
    DİYAGRAMLARINA DÖNÜŞTÜRÜLMESİ

    Sayısal tasarımcılar tasarladıkları devrelerde çoğu zaman VE-Değil yada VEYA-Değil kapılarını, VE yada VEYA kapılarından daha fazla kullanırlar. Bunun nedenleri VE- Değil,VEYA-Değil kapılarının üretiminin daha kolay olması ve bütün sayısal mantık ailelerinde kullanılan temel kapılar olmasıdır.VE,VEYA ve DEĞİL kapıları ile verilen Boolean fonksiyonlarını eşdeğer VE-Değil ve VEYA-Değil mantık şemalarına dönüştürmek gerekir. Aşağıda Tablo 5.1 DeMorgan teoremleri temel dönüşümleri göstermektedir.


    Şekil 5.8 Mantık kapılarının VE-Değil ve VEYA-Değil karşılıklarını göstermektedir. Bu karşılıklar tasarımlarda, kapıların VE-Değil ve VEYA-Değil eşdeğerinin çiziminde kullanılabilinir.



  5. velii
    Yeni Üye
    Elektronik matematiğinde ne sevdiğim konu idi boolean matematiği



  6. BADMAN
    Usta Üye
    ileri kumanda tekniklerinde azmı görmedik bu konuların bazılarını ve iyide bilirim emegine saglık mattet nede olsa aynı okuldanız



+ Yorum Gönder

Hızlı Cevap Hızlı Cevap


:
boolean matematiği,  boolean matematiği soruları,  boolean matematiği sadeleştirme örnekleri,  boolean matematiği ile ilgili sorular,  boolean matematiği örnekleri
5 üzerinden 5.00 | Toplam : 1 kişi